【中１数学】垂直な線の作図のしかた

指定された点を通る垂線をかいてみよう！

「直角」「垂直」「垂線」の違いって？

まずは、言葉について確認しましょう。「直角」「垂直」は、次のように表されます。

・90°の角のことを直角という。 ・２本の直線が交わってできる角が直角のとき、その２本の直線は垂直であるという。

この「直角」「垂直」という２つの言葉はよく間違えやすいのですが、「直角」は90°の角の大きさや形を表すい葉で「垂直」は２つの直線の交わり方を表す言葉です。また、垂直であることを、「⊥」という記号を使って表します。

「垂線」は、次のように表されます。

・２直線が垂直であるとき、一方の直線を他方の直線の垂線という。

上の図でいうと、「直線ℓは直線ｍの垂線」「直線ｍは直線ℓの垂線」ということです。
中学１年生では、この垂線の作図について学びます。その作図の方法をみていきましょう。

 

 

直線上にある点を通る垂線のかき方

ある点を通る垂線のかき方についてみていきます。大きく２種類あります。まずは、直線上にある点を通る垂線のかき方についてです。

≪例題≫ 下の図において、点Ｐを通る垂線を作図しなさい。

次の手順で行います。
①　点Ｐにコンパスの針をおき、直線ℓと２点で交わるように円の一部をかく。
②　①でできた交点の１つに針をおき、弧をかく。
③　②のときと同じ半径の円の弧を、①でできたもう１つの交点に針をおいてかく。
④　②③でかいた弧の交点と点Ｐを通る直線をかく。この直線が答えとなる。

さて、ここでの重要なポイントは、「②と③のときにコンパスの開き方を変えてはいけない」ということです。
図のように交点をＡ、Ｂ、Ｃとします。①の作図からＡＰ＝ＢＰ、②と③の作図からＡＣ＝ＢＣ、ＣＰが共通していることから、3辺の長さがそれぞれ等しいので、△ＡＰＣと△ＢＰＣが合同といえます。よって、∠ＡＰＣ＝∠ＢＰＣ＝90°となるので、直線ＣＰが垂線であるといえます。

ここで、②と③でコンパスの開き方を変えてしまうと、合同ではなくなってしまうのです。①と②、③で変えるのは問題ありませんが、②と③では変えてはいけないことには注意が必要です。

 

 

直線上にない点を通る垂線のかき方

次は、直線上にない点を通る垂線のかき方をみてみましょう。

≪例題≫ 下の図において、点Ｐを通る垂線を作図しなさい。

次の手順で行います。実は先ほどと同じ流れでかくことができます。
①　点Ｐにコンパスの針をおき、直線ℓと２点で交わるように弧をかく。
②　①でできた交点の１つに針をおき、弧をかく。（①とコンパスの開き方は変えてもよい。）
③　②のときとコンパスの開き方を変えずに、①でできたもう１つの交点に針をおいて、②の線と交わるように弧をかく。
④　②③でかいた弧の交点と点Ｐを通る直線をかく。この直線が答えとなる。

こちらも、②と③でコンパスの開き方を変えてはいけないことが注意点です。ここで紹介した２つの垂線のかき方は、作図の基本となります。確実に身につけておくことが必要です。

 

 

個別指導塾の基本問題に挑戦！

≪例題≫ 次の⑴、⑵について、点Ｐを通る垂線を作図しなさい。

≪答え≫
向きが変わっても作図の手順は同じです。例題と同じように作図します。

 

 

数学の「わからない」ところを把握した
効率的・効果的な学習法なら個別指導塾へお任せ

 

 

垂直二等分線をかいてみよう！

垂直二等分線ってどんな線？

「垂直二等分線」は次のように表されます。

・ある線分の中点を通り、その線分に垂直な直線を垂直二等分線という。

下の図において、直線ℓは線分ＡＢの垂直二等分線です。この垂直二等分線は、とても重要な性質を持っています。それは、「直線ℓ上のすべての点は、２点Ａ、Ｂからの距離が等しい」ということです。この、「２点から距離が等しい点の集まり」という性質を利用した作図の問題がたくさん出てきます。垂直二等分線の作図のしかただけでなく、この性質も覚えておくことが重要なポイントとなります。

 

 

垂直二等分線を作図してみよう！

では、垂直二等分線の作図のしかたをみていきましょう。

≪例題≫ 下の図において、線分ＡＢの垂直二等分線を作図しなさい。

次の手順で行います。
①　点Ａにコンパスの針をおき、弧をかく。
②　②のときとコンパスの開き方を変えずに、点Ｂにコンパスの針をおき、②の線と２点で交わるように弧をかく。
③　①と②でかいた弧の２つの交点を結んだ直線が答えとなる。

重要なポイントは、「①と②のときにコンパスの開き方を変えてはいけない」ということです。その理由は、先ほど紹介した「直線ℓ上のすべての点は、２点Ａ、Ｂからの距離が等しい」という性質を利用しているからです。①と②でコンパスの開き方を変えてしまうと、①と②でかいた弧の交点と２点Ａ、Ｂのそれぞれとの距離が異なってしまうからです。このポイントをしっかりとおさえておくことが大切です。

 

 

個別指導塾の基本問題に挑戦！

≪問題≫ ⑴　線分ＡＢの垂直二等分線を作図しなさい。 ⑵　直線ℓ上にあり、２点Ｃ、Ｄから距離が等しい点Ｐを作図しなさい。 　　（ヒント：線分ＣＤの垂直二等分線をひく。）

≪答え≫
⑴　向きが変わっても作図の手順は同じです。例題と同じように作図します。

⑵は、「２点Ｃ、Ｄから距離が等しい」とありますから、まず、２点Ｃ、Ｄを結び、線分ＣＤの垂直二等分線をひきます。この線と直線ℓの交点がＰとなります。このとき、必ず「Ｐ」と図の中にかくことを忘れないようにしましょう。

 

 

個別指導塾の応用問題に挑戦！

≪応用問題≫ ⑴　△ＡＢＣにおいて、辺ＢＣを底辺としたときの高さＡＨを作図しなさい。 ⑵　△ＤＥＦの３つの頂点を通る円の中心Ｏを作図しなさい。

≪答え≫

 

≪解説≫
⑴　点Ａを通り、直線ＢＣに垂直な直線をかく。ただし、線分ＢＣでは線が足りないので、はじめにＣの方向に直線をのばす。
⑵　３点Ｄ、Ｅ、Ｆを通る円の中心がＯということは、ＯＤ、ＯＥ、ＯＦの長さが等しいということである。すなわち、３点Ｄ、Ｅ、Ｆからの距離が等しい点を作図すればよい。線分ＤＥ、線分ＥＦ、線分ＦＤのそれぞれの垂直二等分線のうち２つをかいて、その交点がＯとなる。

応用問題が解けなかったお子さんは、「どこがわからないのか」を特定し、基礎からステップを追って確実に復習することが大切です。今回は垂線について解説しました。この内容では、
・垂線や垂直二等分線の作図のしかたがわからない。
・向きが変わってしまうと何をしていいのかわからなくなる。
・問題文から何を作図してよいのかわからない。
など、つまずくポイントはお子さんによってさまざまです。
数学は「積み上げ学習」といわれており、以前の学年で習った内容や算数の内容をもとに、発展した学習を積み上げていきます。特に、今回学んだ、垂線の作図のしかたや垂直二等分線の性質などは、先の単元にも出てきます。できるだけ「わからない」を残さないように、きちんと身につけておくことが大切です。